Математические расчеты редко применяются на практике при работе с ценными бумагами. Причина тому - высокая волатильность и непредсказуемость, царящие на фондовых рынках. Так, никакая математическая модель не сможет спрогнозировать обвал на мировых рынках, после волны террористических актов в США в сентябре 2001 года. Фондовым рынкам не хватает стабильности для адекватного отражения в математических моделях.

Дело в том, что существует масса внешних факторов, которые независимы от фондового рынка и в то же время, могут оказывать на него серьезное влияние. Следует признать, что таких факторов существует достаточно много, а оценить их, даже теоретически не представляется никакой возможности. Отсюда, напрашивается вывод о слабой применимости математического аппарата к прогнозированию фондового рынка. По большому счету, остается только анализировать исторические данные, выявляя и перенося некоторые закономерности в виде не особо точных прогнозов на будущее. В простейшем случае, математику стоит задействовать для статистического анализа, что мы и попытаемся сделать на примере российского рынка акций РТС (Российская Торговая Система). Точнее, на примере индекса РТС, показывающего динамику отечественных акций в среднем. Будем оценивать вероятность получения заданной доходности на выбранном интервале инвестирования. Данная задача является весьма актуальной в условиях, когда инвестор находится перед выбором распределения средств между несколькими направлениями (облигациями, акциями и т.д.) при некоторых ограничениях на риски (вероятность потерь). Для этого инвестор должен знать соотношение доходность/риски, чтобы в зависимости от своих предпочтений выбрать для себя оптимальный вариант.

Одним из простейших методов в данном классе задач является MW-метод (MW - Moving Window), заключающийся в использовании статистического анализа временных рядов с целью оценки достижения требуемой доходности в расчете на некоторый заранее заданный период. Вкратце опишем данный метод:

Обозначим длину временного ряда через N, сам ряд через R, а его элементы через R(1), …., R(N). В нашем случае в качестве значений ряда будем использовать значения индекса РТС за период с 1995 по 2000 г.г.. Длину периода обозначим через Т. Суть метода достаточно проста - по всей истории временного ряда двигается некоторое окно длины Т и на каждом шаге собирается статистика доходности. Элементы окна обозначим через W_k(1),…….,W_k(Т), где к - положение начала окна в ряде R.

Таким образом, W_k(1)=R(k),……., W_k(Т)=R(k+T-1). Очевидно, для ряда длины N существует (N-Т+1) различных окон длины Т.

Проходя слева направо временной ряд R, будем рассматривать все окна длины Т. Каждому окну соответствует некоторая доходность

D(k)={[W_k(Т)- W_k(1)]/W_k(1)}*100%, где 1< k < N-T+1

На основании полученных данных можно построить функцию распределения F(x).

F(X)=[Количество D(k) < X] / [Количество наблюдений]

Количество наблюдений = N-T+1

С помощью функции распределения можно оценить, например, с какой вероятностью при инвестировании на некоторый период Т доходность будет лежать в том или ином диапазоне. С практической точки зрения, используя данный метод, имеет смысл анализировать фондовые индексы с целью определения периодов инвестирования, на которых достигается требуемая доходность.

Например, исследуя эффективность инвестиций на период в 30 торговых дней по индексу РТС за весь 2000 год, получилось, что F(0), т.е. вероятность получения отрицательной доходности при инвестировании на данный период, составила 0,62. Таким образом, вероятность инвестору получить неотрицательную доходность при инвестировании на 30 дней в 2000 г. составила всего 0,38. Т.е. скорее инвестор потеряет, чем выиграет при инвестировании на данный срок.

Широко известна гипотеза, что инвестиции в акции приносят хорошую доходность на длительных периодах. Данное утверждение легко проверить с помощью нашей функции, взятой с различными периодами. Проведя исследование функции F(0) с периодом в 30 торговых дней на промежутке 1995-2000 г.г. включительно, получилось, что вероятность отрицательной доходности оказалась равной 0,46. Проведя аналогичное исследование с периодом в 60 торговых дней на том же временном промежутке, получилось, что вероятность отрицательной доходности составила 0,4. Т.е. с увеличением периода инвестирования вероятность получения отрицательной доходности снижается.

Для более точного подтверждения гипотезы о зависимости доходности от периода инвестирования можно посмотреть поведение функции F(0) на разных периодах. Например, будем исследовать поведение функции F(0) на периодах от 10 до 90 дней с шагом в 5 торговых дней на временном промежутке 1995-2000 г.г. включительно. На приведенном ниже графике можно увидеть поведение данной функции - по мере роста периода инвестирования вероятность получения отрицательной доходности понижается. Т.е. гипотеза в целом справедлива.

Анализируя график можно увидеть, что, начиная с периода инвестирования в 60 торговых дней, вероятность получения отрицательной доходности застабилизировалась на уровне 0,39. Если анализировать более длительные периоды (от 60 до 150 дней) то там вероятность получения отрицательной доходности снижается незначительно по сравнению с периодом инвестирования в 60 дней! Таким образом, получается, что минимальный оптимальный период инвестирования на российском рынке акций составляет 60 торговых дней.

Для сравнения приведем график функции F(0), построенной по американскому индексу Доу-Джонса (DJIA) за период с 1995 по 2000 г.г.. Сравнивая два графика можно наглядно увидеть, что вероятность получения убытков на американском рынке значительно ниже. Так, вероятность получить отрицательную прибыль при инвестировании на 100 торговых дней на российском фондовом рынке составляет 0,39, тогда как на американском - 0,23. Очевидно, по уровню риска американские акции выглядят намного безопаснее, чем российские.

В приведенных выше выкладках MW-метода анализируются всевозможные случаи инвестирования с заданным периодом Т на ряде данных R. Между тем, если задать некоторое осмысленное правило выбора начального периода инвестирования (точка входа в рынок), то результативность можно существенно повысить. Так, не стоит приобретать акции на пике роста, когда они уже существенно выросли. Например, если цены на акции по индексу РТС за последние 5 дней выросли более чем на 15% - с большой вероятностью в ближайшие 10 дней последует понижательная коррекция. Следовательно, инвестировать в данной точке не имеет смысла. Знание подобных фактов позволяет отбросить явно неподходящие точки входа в рынок и в итоге существенно улучшить результативность. Так, при периоде инвестирования в 60 дней с использованием правила отсечения неблагоприятных точек входа в рынок вероятность получения отрицательной доходности снижается с 0,39 (при обычной F(X)) до 0,34 (F(X) с выбором начальной точки).

Функция F(x) представляет большой практический интерес, поскольку способна относительно точно оценить вероятность получения некоторой доходности на данном периоде инвестирования. Так, часто стоит вопрос вложений средств в российские акции или в некие активы с фиксированной ставкой процента. В этом случае, функция F(x) сможет дать ответ с какой вероятностью доходность акций превысит доходность активов с фиксированной ставкой процента. В этом случае используется функция Z(x)=1-F(x),

т.е. Z(x)=[Количество D(k) > X] / [Количество наблюдений], где k - порядковый номер окна.

В частности, например, при возможности инвестирования средств на одномесячный ("22 торговых дня) депозит в банке или инвестирования в российские акции, очевидно следует предпочесть одномесячный депозит. Это следует из того, что на периоде в один месяц вероятность выйти в плюс по российским акциям эквивалентна вероятности выпадения орла в игре с подбрасыванием монеты (Z(0) " 0.5).

В целом, получается что риски инвестирования в российские акции достаточно велики. Вероятность получения положительной доходности при инвестировании от 30 до 200 торговых дней составляет от 0,6 до 0,7. Здесь возникает вопрос: На сколько оправдана такая высокая норма риска, какова премия за риск? Для ответа на этот вопрос обычно используют гистограмму, оценивающую плотность распределения доходности на некотором периоде T, по внешнему виду которой также можно увидеть по какому закону распределена та или иная случайная величина. В качестве примера исследуем соотношение риск/доходность по индексу РТС на промежутке 1995-2000 г.г. На Рис. ниже приведена гистограмма MW-метода с периодом инвестирования в 60 торговых дней. На оси X отложены доходности с шагом в 10%, на оси Y - частота в процентах попадания доходности в данный интервал. Получилось, что на периоде в 60 дней максимальное значение доходности составило +173%, минимальное -82%. Отложим на шкале X доходности от -100% до +180%. По шкале Y отложим частоту (в %) с которой доходность за 60-дневный период попадала в данный интервал.

Как видно из графика, наибольшую вероятность при инвестировании на 60 дней имеет доходность в промежутке от 0% до 10%. Внешне гистограмма очень напоминает плотность нормального распределения.

В принципе, можно считать риск инвестиций в акции оправданным - вероятность увеличить капитал в полтора раза составляет около 17%. С другой стороны, риск потерять половину капитала составляет около 5%. Для определенного круга инвесторов, склонных к повышенной норме риска, данные условия являются приемлемыми.

Для полноты картины интересно еще посчитать математическое ожидание (11%) и среднеквадратичное отклонение (40%). Среднеквадратичное отклонение показывает средний разброс реальных значений от математического ожидания. Среднеквадратичное отклонение в несколько раз превышает ожидаемую прибыль, что характеризует высокую волатильность российских акций и, как следствие, высокие риски для инвестирования. На американском фондовом рынке порядок среднеквадратичного отклонения значительного ниже российского (7%), но зато и математическое ожидание меньше (4,5%). Получается, Россия выглядит гораздо предпочтительнее в плане потенциальных доходов (11% против 4,5%), но, с другой стороны, риск приобретения российских акций значительно выше, чем американских (40% против 7%). Вложения в российские акции несут в себе повышенные риски, недопустимые для широкого круга иностранных и отечественных инвесторов. Степень рискованности вложений в российские активы в частности отражена в суверенном кредитном рейтинге "B"¹ (по классификации Standard & Poor`s), что является ниже минимально допустимого инвестиционного рейтинга "ВВ".

На мой взгляд, основным источником нестабильности в России являются политические риски, слабая экономика, неразвитая инфраструктура и низкая корпоративная культура большинства эмитентов, не заботящихся о своей капитализации. Преодоление этих пороков в будущем позволит российскому фондовому рынку выйти на качественно новый уровень.